Понедельник, 05 Август 2013 10:01

Шесть карандашей Мартина Гарднера

Автор
Оцените материал
(1 Голосовать)
Шесть карандашей - Нос к носу Шесть карандашей - Нос к носу Александр Бушмелев

Задачу про шесть карандашей, которые должны касаться каждый друг друга, впервые вычитал, по-моему, в одной из книг Мартина Гарднера.

Итак, имеем шесть карандашей, которые нужно сложить так, чтобы каждый касался остальных пяти. Первая идея которая приходит на ум - сложить карандаши заточенными концами вместе в виде звездочки.

Это решение не годится. Как бы остро мы не затачивали карандаши, в одной точке они не сойдутся. В лучшем случае, каждый карандаш будет касаться двух соседних. Это хорошо видно на первом стартовом изображении.

Дабы избежать дальнейших бесплодных споров о возможных тонкостях материи, переформулируем задачу следующим образом: будем считать карандаши новыми и не заточенными. Короче говоря, в задаче идет речь о шести цилиндрах одинакового радиуса.

Дальнейшие выкладки будем делать на шестигранных каранашах. Думаю фантазии хватит, чтобы понять, что для цилиндров все будет работать тоже ;)))

 Можно легко понять, что задачу нужно решать не в плоскости. Простое складывание карандашей 3+3 друг на друга, так же не является решением. Хотя мы уже вплотную приблизились к решению: Каждый карандаш касается четырех остальных, а некоторые даже пяти как надо. На рисунке видно, что не дотягиваются только пара крайних карандашей в каждом ряду

Шесть карандашей. 3х3 в 3D

А что нам мешает дотянуть друг до друга эти крайние карандаши? Да, собственно, ничего не мешает! Получим картинку:

Шесть карандашей. Решение

Действительно, это и будет искомым решением!

Кстати, это решение не единственное. Другое альтернативное решение показано на следующем кадре:

Шесть карандашей. Альтернатива 1

Это решение не очень красиво. отсутствует симметрия. Хочется завершенности. После недолгих попыток удалось получить симметричное решение:

 Шесть карандашей. Симметричная альтернатива

 Что мы видим? Симметричное отверстие в центре фигуры и седьмой, случайно завалявшийся в кустах, карандаш. Есть идея?

Аккуратно стягиваем центральное отверстие до размеров диаметра карандаша и аккуратно вставляем постедний седьмой карандаш в полученный колодец. Если торец карандаша ровный, а столик горизонтальный, то получаем устойчивую конструкцию "Счастливец в колодце":

Семь карандашей. Счастливец в колодце

Ближайшее рассмотрение подтверждает догадку, что все карандаши касаются шести других!

Семь карандашей. Взгляд в упор
 

Итак, получили решение задачи про семь карандашей (неподточенных!), которые касаются каждый каждого.

PS. Автор благодарит Илью Бушмелева за альтернативное решение карандашной проблемы

PS.PS. Автор выражает благодарность Александре Бушмелевой за любезно предоставленные карандаши и участие в карандашных опытах.

Прочитано 1297 раз Последнее изменение Понедельник, 05 Август 2013 11:46
Другие материалы в этой категории: « MagMax или Магнетикс вид сбоку
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии