Четверг, 20 Август 2009 19:26

Тор с семью вершинами

Автор Александр Бушмелев
Оцените материал
(0 голосов)
Статья посвящена многограннику тору с семью вершинами. Известно, что минимальная триангуляция тора имеет семь вершин и является полным графом (каждый узел соединен со всеми остальными ребром). Неясным оставался вопрос о том, существует ли реальный многогранник без самопересечений в трехмерном пространстве, который соответсвует этому графу. Проще говоря, можно ли склеить из бумаги многогранник соответствующий этой триангуляции?

Оказывается можно. В далеких 80-х манипулируя в уме точками и гранями (персональных компьтеров тогда еще не было) у меня сначала появилась идея реализации, а потом методом проб и ошибок удалось-таки склеить модель многогранного тора с семью вершинами из картона.

Первая Модель тора с семью вершинами

На фотографии изображена потрепанная временем моя самая первая модель тора с семью вершинами, подаренная моему учителю Сабитову Иджаду Хаковичу.

Следует отметить, что первооткрывателем вложения тора в трехмерное пространство, как многогранника был болгарский тополог Csaszar . Свой вариант этого замечательного многогранника он сконструировал в 1949 году.

Информация о моей модели тора с семью вершинами была опубликована в журнале "Квант" №2 1985 в статье "Многогранники-торы" . Можно найти ссылку на скан этого журнала. В те далекие годы не было желания заниматься вычиткой статьи, да и интересы в тот момент изменились. Когда однажды я наткнулся на эту статью проснулось страстное желание еще раз склеить эту модель. Не тут то было! В описании модели закралась досадные опечатки. Развертку построить не удалось. Все попытки напрячь свои мозги и восстановить по памяти строение многогранника привели лишь к головной боли. И вот через тридцать лет удалось вновь встретить старенькую модель, сделать ряд фотографий и восстановить информацию об этом интересном многограннике.

Многогранником называют поверхность, ограничивающую некоторый объем и состоящую из конечного числа плоских многоугольников — граней многогранника. Стороны граней называются ребрами. К каждому ребру примыкают ровно две грани. От всякой грани можно перейти к другой, переходя через ребра. Грани могут пересекаться либо в одной вершине, либо по одному целому ребру.

Предположим, что многогранники сделаны из эластичного материала, который можно бесконечно растягивать и сжимать. Введем еще запрет на разрезание и склеивание нашего материала. Теперь мы можем деформировать грани и ребра  как нам заблогорассудится, например, раздувать как воздушные шары. После ряда экспериментов мы можем увидеть, что всевозможные многогранные поверхности превращаются практически в одни и те же поверхности: сфера, тор, крендель, и т.д. В общем случае говорят, про сферу с N ручками. Пример сферы с одной ручкой - поверхность обычной трехпудовой гири. Более известное название сферы с одной ручкой - тор или поверхность бублика (не забываем, что наши многогранники пустые внутри). Конечно, не все так просто, можно получить тор, завязанный в узел, но в этой статье мы не будем акцентировать на этом внимание.

Раздувание многогранников

Многогранник с произвольными гранями можно всегда привести к многограннику с треугольными гранями, проводя дополнительные ребра. В дальнейшем будем рассматривать только многогранники с треугольными гранями.

Треугольные сети на поверхностях

При «раздувании» многогранника ребра и грани искривляются, и на «раздутом» многограннике образуется сеть из криволинейных треугольников. Таким образом, каждому многограннику соответствует треугольная сеть на сфере (если многогранник типа сферы) или на торе (если многогранник типа тора).
Такую треугольную сеть можно начертить непосредственно на поверхности сферы или тора. Для этого нужно отметить на поверхности определенное число точек (узлы), соединить их непересекающимися линиями без самопересечений (дуги) так, чтобы поверхность оказалась разбитой на части (области), каждая из которых ограничена тремя дугами и тремя узлами, а пересечение двух областей либо пусто, либо состоит из одного узла, либо состоит из одного ребра.

Реализация сетей многогранниками

Теперь естественно поставить такой вопрос: всякая ли треугольная сеть, начерченная указанным выше образом на поверхности сферы или тора, получается из вершин, ребер и граней некоторого многогранника его «раздуванием»? Другими словами, можно ли всякую треугольную сеть на сфере или на торе реализовать в виде настоящего многогранника так, чтобы достигалось взаимнооднозначное соответствие между:

  • узлы поверхности и вершинам многогранника,
  • дугами и соответствовали  ребрами,
  • областями и гранями

с сохранением примыкания (то есть так, чтобы узлы, соединенные дугой, отвечали бы вершинам, соединенным соответствующим ребром, и дуги, ограничивающие область, отвечали бы ребрам, ограничивающим соответствующую грань)?

Для сферы положительный ответ был установлен еще давно немецким математиком Штейницем, который доказал к тому же, что многогранник, реализующий сеть, всегда можно выбрать выпуклым. В настоящее время доказано и обобщение теоремы Штейница на случай тора: всякая треугольная сеть на торе реализуется многогранником.

Поскольку строить треугольные сети на торической поверхности затруднительно, преобразуем тор в удобное представление. Возьмем камеру от велосипеда, сделанную из нашего эластичного материала и разрежем ее ножницами поперек. Разрез сделан для удобства  и мы должны помнить, что края разреза переходят друг в друга, образуя тор. После этого растянем полученную поверхность в трубу. Получили цилиндр. Разрежем этот цилиндр вдоль и развернем на плоскости. Получим прямоугольник.

Развертка тора на плоскости

Можно проделать обратную операцию. Взять прямоугольник, склеить сначала его правые и левые стороны вместе без перекручивания. Получим цилиндр - трубку. Далее изогнем трубку и склеим края вместе - получим тор.

Таким образом, мы получили стандартное представление тора: прямоугольник с отождествленными противоположными краями. Обратите внимание, что края склеиваются напрямую. Можно их склеивать с подворотом на 180 гдадусов, при этом будем получать другие поверхности, а не тор. Мы же сейчас будем говорить о торе.

Тор с 9 вершинами

Пример тора с 9 вершинами и его развертка

Как уже говорилось выше, минимальное возможное количество вершин триангуляции тора - семь. Каждая вершина соединена с каждой другой ребром. В этом случае говорят о полном графе. Всего граней 14.
Развертка тора с 7 вершинами
Развертка тора с 7 вершинами

 Это единственная триангуляция тора с точностью до перестановки вершин. Вернее, вид развертки может быть другим, но путем растяжений, сжатий и перенумерации вершин любую из них можно привести к виду, указанному выше.

Можно заметить, что приведенная развертка симметрична. Номера узлов и цвета граней соответствуют приведенной ниже реализации тора. Эта реализация так же симметрична относительно оси, проходящей через вершину 0 и середины ребер [1, 2], [3, 4] и [5, 6].

Модель тора с семью вершинами.

В статье "Как склеить из бумаги тор с семью вершинами" описан способ склейки этого варианта многогранника.


Модель тора Scaszar так же имеет осевую симметрию. Если запретить самопересечения при деформации, то эти два представления невозможно перевести одно в другое.

Интерактивная модель тора с семью вершинами.


Интерактивная модель тора Csaszar'а с семью вершинами .


Прочитано 4668 раз Последнее изменение Воскресенье, 20 Март 2011 12:38
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии