Воскресенье, 10 Апрель 2011 05:19

Пентагональный икоситетраэдр (PentagonalIcosiTetraHedron) и его звездчатые формы

Автор
Оцените материал
(1 Голосовать)

pentaicositetra_0Пентагональный икоситетраэдр (PentagonalIcosiTetraHedron) - двойственный многогранник к курносому кубу (snub cube). Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного и каждому ребру исходного — ребро двойственного. То есть, чтобы построить Пентагональный икоситетраэдр (PentagonalIcosiTetraHedron) необходимо взять курносый куб (snub cube) и поменять все грани на вершины, объединить эти вершины в многоугольники, так чтобы было соответствие вершина исходного - новая грань.

 

В общем, сам запутался. Тем более, приведенное определение двойственного - топологическое определение. Надо бы еще добавить, что грани должны быть плоскими многоугольниками. Как построить такой?
В общем для меня оказалось ключевым моментом понять, что плоскость грани двойственного имеет нормаль, проходящую через вершину исходного. Опять сложно и непонятно? Тогда смотрим на рисунок:

 

В принципе, можно понять как это устроено. Внутри пентагонального икоситетраэдра просматривается разноцветный курносый куб. Грани двойственного проходят через вершины исходного. Если у Вас установлен современный браузер, поддерживающий технологию WebGL, то можно перейти по ссылке и поизучать интерактивную модель.

pentaicositetra_snubcube
Как и следовало ожидать есть два зеркально симметричных многогранника, каждый из которых соответствует зеркальным близнецам курносого куба. Опять же трудно понять, какой из них левый, а какой правый!

pentaicositetra_0 pentaicositetraI_0

Пентагональный икоситетраэдр (PentagonalIcosiTetraHedron) собирается из 24 пятиугольных граней, которые можно сгруппировать по четыре. Изображение многогранника раскрашено в соответствии с такой группировкой. Хорошо просматриваются кубические корни этого многогранника. Легко получаются звездчатые формы этого многогранника с кубической симметрией:
pentaicositetra_10-16-17-27-28-45-46-47-69-91-92-117

pentaicositetra_3-4-5-7-10-11-18-19-31

Острые пики этих многогранников соответствуют граням куба

Группировать грани можно тройками. В этом случае мы увидим четкую октаэдральную симметрию. Одна из звездчатых форм с октаэдральной симметрией:
pentaicositetra_1-2-5-7-14Красные углы соответствуют граням октаэдра.

Но мы отвлеклись. Итак, имеем 24 пятиугольные грани, которые, пересекаясь в пространстве, образуют множество отсеков из которых можно собрать уйму красивых форм. Грани многогранника все одинаковые. Это однородный многогранник. Эпюра, следовательно, одна:
pentaicositetra_epure2

На рисунке показана центральная часть эпюры с перенумерованными многоугольниками.
Многогранник наследует несимметричность исходного курносого куба. Эпюра не обладает набором симметрий и обещает многогранные формы с "косой симметрией". На рисунке ниже можно увидеть всю эпюру целиком:

pentaicositetra_epure1

Перейдем к обзору "правильных" звездчатых форм. Правильными формами будем называть формы, которые получаются единичным продолжением граней исходного многогранника до пересечения. Строить будем рекурсивно. Нулевой звездчатой формой будет исходный многогранник. Первое продолжение граней приведет к образованию пятиугольных пирамидок над каждой из граней исходного многогранника. Получим первую звездчатую форму пентагонального икоситетаэдра:
pentaicositetra_1-2-3-4-5
Составляющие части пятиугольных пирамид можно найти на эпюре ниже. Они соответствуют желтым треугольникам окружающими исходный красный пятиугольник грани.
pentaicositetra_epure_1
Номера треугольников первого пояса 1, 2, 3, 4, 5. Присваиваем полученному многограннику код: {(1,2,3,4,5)}. Видим, что исходный многогранник как бы вложен в первую звездчатую форму. На ребрах исходного многогранника опираются пятиугольные пирамидки первой звездчатой формы.

Следующая форма получается дальнейшим продолжением граней. На эпюре мы видим зеленый "поясок" многоугольников опоясывающий треугольники предыдущей звездчатой формы:

pentaicositetra_epure_2
В итоге получаем многогранник "Вторая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра":
pentaicositetra_6-7-8-9-10-11
Код этого многогранника: {(6,7,8,9,10,11)}. На рисунке четко видны пятиугольные звезды неправильной формы.

В общем, идея получения следующей звездчатой формы должна быть интуитивно понятна. К пояску многоугольников предыдущей формы добавляем многоугольники следующего слоя. И т. д., пока эпюра не закончится. Все полученные таким образом многогранники вкладываются друг в друга как матрешки.

На десятом шаге мы обнаружим, что для некоторых многоугольников уже не найдется продолжения. Таким образом, смогли получить только девять форм. На рисунке снизу представлен набор всех девяти колец, образующих девять правильных звездчатых форм пентагонального икоситетраэдра:

pentaicositetra_epure_all

Последняя, девятая форма отличается хаосом острых игл. Чем-то напомнило мне астероид из Армаггедона. Можно назвать этот многогранник многогранником Брюса У.

pentaicositetra_126-127-128-129-130-131-132-133-134-135-136-137-138-139-140-141-142-143-144-145-146-147-148-149-150-151-152-153-154

Остальные звездчатые фомы сведены в таблицу. Все это не означает, что у этого многогранника всего девять форм. Остальные можно получить используя другие алгоритмы получения замкнутых тел. Общее количество многогранных форм, которые можно получить мне неизвестно.

 

Таблица форм
Название Код Изображение

Двойственная форма курносого куба - пентагональный икоситетраэдр (pentagonalicositetrahedron)

{(0)}

pentaicositetra_0

Первая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

 

{(1,2,3,4,5)}

pentaicositetra_1-2-3-4-5
 

Вторая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

{(6,7,8,9,10,11)} pentaicositetra_6-7-8-9-10-11
Третья звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра {(12,13,14,15,16,17,18,19)} pentaicositetra_12-13-14-15-16-17-18-19
Четвертая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра {(20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32)} pentaicositetra_20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32
Пятая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

{(33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,

47,48,49,50,51,52)}

pentaicositetra_33-34-35-36-37-38-39-40-41-42-43-44-45-46-47-48-49-50-51-52
Шестая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

{(53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,

67,68,69,70,71,72,73,74,75)}

pentaicositetra_53-54-55-56-57-58-59-60-61-62-63-64-65-66-67-68-69-70-71-72-73-74-75
Седьмая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

{(76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,

90,91,92,93,94,95,96,97,98,99)}

pentaicositetra_76-77-78-79-80-81-82-83-84-85-86-87-88-89-90-91-92-93-94-95-96-97-98-99
Восьмая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

{(100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,

110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,

120,121,122,123,124,125)}

pentaicositetra_100-101-102-103-104-105-106-107-108-109-110-111-112-113-114-115-116-117-118-119-120-121-122-123-124-125
Девятая звездчатая форма пентагонального икоситетраэдра

{(126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,

136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,

146,147,148,149,150,151,152,153,154)}

pentaicositetra_126-127-128-129-130-131-132-133-134-135-136-137-138-139-140-141-142-143-144-145-146-147-148-149-150-151-152-153-154
Кубическая симметрия 1 {(10,16,17,27,28,45,46,47,69,91,92,117)} pentaicositetra_10-16-17-27-28-45-46-47-69-91-92-117
Кубическая симметрия 2 {(3,4,5,7,10,11,18,19,31)} pentaicositetra_3-4-5-7-10-11-18-19-31
Октаэдральная сммметрия {(1,2,5,7,14)} pentaicositetra_1-2-5-7-14

Все представленные многогранные формы можно рассмотреть в интерактивном режиме, если, конечно, Ваш браузер поддерживает технологию WebGL.

Прочитано 4638 раз Последнее изменение Воскресенье, 10 Апрель 2011 07:13
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии