На плоскости все понятно. Рожденные в Советском союзе однозначно связывают в своем сознании это слово с пятилучевой звездой - пентаграммой:
Так же многим хорошо известна звезда Давида:
Если обратиться к некоторым компьютерным графическим программам, например, PowerPoint, то можно легко найти разные звезды в разделе "Фигуры":
Звезды с разныи количеством лучей
Звезды бывают "правильные" и "неправильные". "Правильные" звезды симметричные, у них все лучи одинаковые, углы, под которыми соединены лучи так же совпадают.
Вообще говоря, звезду с заданным числом лучей можно получить, продолжив стороны правильного многоугольника в обе стороны в виде лучей. Если взять правильный пятиугольник и проолжить его стороны, то получим следующую картинку
Продолжение сторон пересеклись между собой и образовали треугольники на сторонах исходного пятиугольника, образуя звезду. Если продолжить дальше ребра, то они больше не пересекутся и уйдут в бесконечность. В случае шестиугольника ситуация будет аналогичной. Но уже в случае правильного семиугольника получим другой результат:
Мы видим, что пересеклись не только пары сторон находящиеся через одно ребро исходного многоугольника друг от друга, но так же пересеклась еще одна пара сторон, образуя семиугольную звезду, но с более вытянутыми лучами.
Таким образом, взяв за основу семиугольник, можно получить две зведчатые формы. То же самое можно проделать с восьмиугольником, девятиугольником и т. д., получая разные лучистые фигуры.
Прямые, являющиеся продолжением сторон многоугольника будут пересекаться между собой, образуя множество многоугольников на плоскости. Часть, лежащая около исходного многоугольника будет состоять из замкнутых многоугольников, другие части будут являться бесконечными кусками, вырезанными из плоскости.
Если выбрать треугольники, лежащие на ребрах исходного многоугольника получим звезду, называющуюся первой звездчатой формой.
Если отбросить бесконечные куски, то полученная звездчатая форма будет называться завершающей звездчатой формой.
Можно комбинировать полученные куски, получая из них новые многоугольные формы на плоскости.
Это занятие достаточно интересное. Таким образом можно получить много забавных многоугольников.
Процесс этот более или менее понятный и результат получается вполне предсказуемый.
Каков будет аналог этого процесса в трехмерном пространстве?
На плоскости за основу мы выбирали правильные многоугольники. Пространственный аналог многоугольников - многогранники.
Аналогом правильных многоугольников, будут правильные многогранники, то есть многогранники, стороны которых являются правильными многоугольниками: треугольник, пятиугольник, шестиугольник и т.д.
На удивление оказалось (удивились еще древние греки) правильных многогранников всего пять:
Тетраэдр
Гексаэдр, он же куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Эти пять тел описал Платон. Я думаю, что количество многогранников не потянуло на полноценную диссертацию Платона, но с тех пор эти тела называют Платоновыми (не путайте с платонической любовью).
Если на плоскости мы проводили через стороны прямые линии, то в пространстве им будут соответствовать плоскости.
Тетраэдр и гексаэдр(куб) при продолжении своих граней не образуют замкнутых отсеков. Все части, полученные после разрезания пространства будут бесконечными. Первым телом у которого можно получить содержательный результат является октаэдр.
Звездчатые формы октаэдра
Продолжив грани октаэдра, мы увидим среди бесконечных кусков четыре отсека конечной формы. Можно понять, что эти отсеки имеют форму правильных тетраэдров. Эти отсеки образуются на гранях исходного октаэдра.
Если объединить эти отсеки, то получим красивую многогранную звездчатую форму, которую называют стеллой Кеплера. Это первая и последняя звездчатая форма октаэдра.
Эту модель можно представить как объединение двух тетраэдров, которые пронизывают друг друга.
Чтобы построить модель из бумаги необходимо сделать развертку, то есть построить на бумаге все грани этого многогранника, вырезать их и склеить. Стелла Кеплера один из самых простых многогранников. Для его склейки нужно вырезать 24 равносторонних треугольника. Сначала склеиваем восемь треугольных пирамид без донышка, а потом склеиваем их вместе по четыре.
Для понимания того как строить развертки для других более сложных случаев выберем одну из граней октаедра и мысленно проведем через нее плоскость. Можно представлять себе чистый лист бумаги лежащий на одной из граней. Затем мы рассекаем этот лист плоскостями, проходящими через остальные грани. Три прилежащие грани образуют три линии пересечения, высекая исходный треугольник. Еще три грани высекают большой треугольник. Еще одна плоскость будет параллельной к исходному листу и не добавит новых линий. Получим следующий чертеж:
Это построение называется эпюрой. Эпюра позволяет понять нам как устроены отсеки в пространстве.
Со всеми остальными гранями можно поступить аналогичным образом. Поскольку многогранник обладает осями симметрий, то можно строить звездчатые формы выбирая многогранники на одной эпюре, а остальные грани будут получаться в соответствии с симметриями исходного многогранника.
Из приведенной выше эпюры видно, что имеется ровно два вида отсеков:
Средний, соответствующий собственно октаэдру и примыкающие к среднему отсеку 8ми правильным тетраэдрам, которые при объединении дают Стеллу Кеплера.